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Allumettes de Banach.

Description

Banach, qui était fumeur, avait deux boîtes d'allumettes, l'une dans la poche gauche, l'autre dans la poche droite.
Chaque fois qu'il allumait sa pipe, il puisait au hasard dans l'une des boîtes.
Immanquablement, au bout d'un certain temps, l'une des boîtes était vide alors que l'autre pouvait encore contenir quelques allumettes. Combien d'allumettes ?

On suppose que les deux boîtes sont changées simultanément et qu'elles contiennent initialement le même nombre n d'allumettes.
Quel est, en moyenne, le nombre d'allumettes restantes, dans l'autre boîte (deux interprétations) :

(1) lorsqu'on prend la dernière allumette d'une boîte ?

(2) lorsqu'on veut prendre une allumette et que l'on se rend compte que la boîte que l'on vient d'ouvrir est vide ?

Simulations

Deux type utilisations sont possibles :
Mode manuel et lent :
En cliquant sur une boîte quelconque ou sur le bouton " Prends une allumette ", une boîte est choisie au hasard et une allumette est retirée.
On peut lire à tout moment les nombres restants d'allumettes des deux boîtes.
Lorsqu'une boîte est vide, le premier clic suivant referme les boîtes et permet de commencer un autre essai, sans utiliser le bouton "Nouvelle partie".
Si on change le nombre d'allumettes par boîte, le jeu est entièrement réinitialisé.

Mode automatique et rapide :
Il suffit d'indiquer le nombre de parties à simuler et de cliquer.



Selon l'interprétation souhaitée lors de la simulation, cocher les boutons (1) arrêt immédiat, à la dernière allumette de la boîte, ou (2) à l'ouverture d'une boîte vide :


Arrêt (1) dès qu'une boîte est vide    (2) en ouvrant une boîte vide

Gauche   Droite  
 
     
 
Nombre d'allumettes par boîte : 
 
 
    expérience(s) (un entier de 1 à 50).

Solution

Solutions des deux interprétations, probabilités, espérances mathématiques et fonctions génératrices, aux formats allu.pdf et aussi LaTeX.

Références, liens

Sequence A002457 N. J. A. Sloane
Introduction to Probability with Applications Yiqiang Q. Zhao Carleton University
Banach Matchbox Problem The Math Forum Drexel University.
Banach's Matchbox Problem Applet Susan Holmes Stanford. Welcome to Probability by Surprise.
A Quick Review of the WZ Theory Akalu Tefera (Temple University).
"A=B" by Marko Petkovsek, Doron Zeilberger and Herbert Wilf.
Matchbox Mambo (Tour) Un tour de prestidigitation qui n'a rien à voir avec Banach. Peut même se faire avec des boites d'allumettes empruntées. etc.


















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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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