Nombres belges
Les nombres belges d'Éric Angelini
On définit évidemment de même une suite pour tout nombre entier N strictement positif, de un ou plusieurs chiffres.
Définition
Un nombre est belge s'il est dans sa suite associée, (c.-à-d. construite suivant le principe décrit ci-dessus).
Exemple : 176 est belge car il est dans sa suite associée 1, 8, 14, 15,..., 176, ...Indications : On voit immédiatement que pour un nombre N de n chiffres (abc...d) de somme des chiffres s=a+b+c+...+d, la suite belge est obtenue en imbriquant les termes de n suites linéaires ou affines de mêmes raisons s et dont les premiers termes sont les sommes 0 ou a ou a+b ou a+b+c ... des tous premiers chiffres à partir de la gauche de N.
Dans l'exemple N = 176, ces n=3 suites sont les suites arithmétiques de raisons 14 et de premiers termes 0, 1, 8 :
0, 14, 28, 42, ...
1, 15, 29, 43, ...
8, 22, 36, 50, ...
Comme 176 ≡ 8 (mod. 14), le nombre 176 est dans la troisième de ces suites et donc est belge.
Théorème :
Un nombre N est belge ssi le reste de la division de N par la somme s de ses chiffres est nul ou est la somme d'un ou de plusieurs des chiffres les plus à gauche (c.-à-d. en partant de la gauche), de l'écriture de N.
Démonstration : cf. les indications données plus haut et rédigez !
Remarque : Par abus de langage, on confond volontairement le chiffre x et le nombre x d'un seul chiffre. Ainsi, par exemple, le nombre 176 a trois chiffres 1, 7, 6, mais ce sont trois nombres 1, 7, 6 – et non des chiffres – qui sont additionnés dans 1+7+6 = 14 (on dit pourtant que la somme des chiffres de 176 est 14).
Testeur de nombres belges
gp/pari :
isbelgian(n)={s=0;k=0;x=n;while(x>0,s+=x%10;x=(x-x%10)/10;k++);r=n%s;t=s;x=n;for(j=0,k,if(r==t,return(1));t-=x%10;x=(x-x%10)/10;);return(0);}
N=1000;v=vector(N);u=1;n=1;while(n<=N,if(isbelgian(u)==1,v[n]=u;n++);u++);print(v)
Construction de la suite des nombres belges
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,20,21,22,24,26,27,30,31,33,35,36,39,40,42,44,45,48,50, 53,54,55,60,62,63,66,70,71,72,77,80,81,84,88,90,93,99,100,101,102,106,108,110,111,112,114,...
Extensions de la suite aux nombres k-belges
On pourra donc distinguer les 0-belges (ci-dessus) des 1-belges ou 2-belges ou ... obtenus à partir des nouvelles définitions.
Comme pour les nombres belges on pourra s'amuser à démontrer le théorème suivant qui permet de caractériser aisément les nombres k-belges d'Éric, sans calculer la suite associée.
Théorème :
Un nombre N est k-belge ssi le reste de la division de N-k par la somme s des chiffres de N est nul ou est la somme d'un ou de plusieurs des chiffres les plus à gauche (c.-à-d. en partant de la gauche), de l'écriture de N.
0) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,17,18,20,21,22,24,26,27,30,31,33,35,36,39, A106039 1) 1,10,11,13,16,17,21,23,41,43,56,58,74,81,91,97,100,101,106,110,111,113,115, A106439 2) 2,10,11,12,15,16,20,22,25,26,32,38,41,42,46,67,72,82,86,91,95,,100,101,102, A106518 3) 3,10,11,12,14,15,21,23,30,31,33,34,35,39,47,51,52,59,63,69,73,75,78,94,100, A106596, 4) 4,10,11,13,14,20,21,22,24,25,31,32,37,40,43,44,51,54,57,64,65,76,82,84,87, A106631 5) 5,10,11,12,13,29,38,45,50,52,53,55,61,100,101,102,110,111,114,120,121,124, A106792 6) 6,10,11,12,20,21,22,23,24,28,30,33,34,36,41,42,46,49,58,60,61,62,66,68,73, A107014, 7) 7,10,11,21,27,29,31,32,37,41,56,70,71,77,85,94,100,101,103,106,110,111,112, A107018 8) 8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,26,28,31,35,40,42,43,44,48,53,62, A107032 9) 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,25,27,30,32,33,36,45,51,54,57,63,67,69, A107043
gp/pari :
iskbelgian(n,k)={s=0;m=0;x=n;while(x>0,s+=x%10;x=(x-x%10)/10;m++);r=(n-k)%s;t=s;x=n;for(j=0,m,if(r==t,return(1));t-=x%10;x=(x-x%10)/10;);return(0);}
for(k=0, 9,\
N=1000;v=vector(N);u=k;n=1;while(n<=N,if(iskbelgian(u,k)==1,v[n]=u;n++);u++);print(v);\
print("------------------"))
quit;
Suite des nombres self-belges de type 1
Calcul de la suite de type 1
A107062 Union of sets of Belgian-k numbers for k = 0..9 which begin with k>,
Testeur de type 1
Suite des nombres self-belges de type 2
Calcul de la suite de type 2
Suite calculée jusqu'à 108 1,2,3,4,5,6,7,8,9,61,71,918,3612,5101,8161,12481,51011,248161,361213,5101111,7141519,8161723,
Calcul de la suite associée à un nombre N
Le calcul est effectué par "brute force", en prenant les entiers les uns après les autres. Les résultats permettent d'envisager 9 suites.
Testeur de type 2
Chercheur de nombres belges de type 2
L'application ci-dessous utilise une propriété qui permet très simplement et rapidement de calculer tous les nombres belges de type 2, classés suivant la valeur de leur premier chiffre k.
Théorème :
Étant donné le chiffre k (un naturel de 1 à 9), on définit de manière unique le mot infini M en concaténant la suite dont le premier terme est k et dont les différences des termes consécutifs sont les chiffres successifs de M (les lettres du mot M sont des chiffres).
Les nombres belges de type 2 et de premier chiffre k sont parmi les préfixes de M, ceux qui sont k-belges.
Exemple : M = (5)(10)(11)(11)(12)(13)... = 510111112131415161819222327283334404149505961636568... est le mot infini obtenu en prenant k=5.
Les préfixes non vides sont "5", "51", "510", "5101", "51011", ... qui sont ou ne sont pas k-belges ("51" et "510" ne sont pas 5-belges, les trois autres le sont).
Les self-belges de type 2, dont le premier chiffre est 5, sont donc 5, 5101, 51011, ...
Nombres premiers
Les self-belges de type 2 sont – à ce qu'il semble – en grande majorité composés. En effet on ne connaît que très peu de nombres premiers qui soient aussi des self-belges de type 2, la liste complète jusqu'à 6×1019 est la suivante :
2, 3, 5, 7, 61, 71, 5101, 8161, 248161, 361213, ...Les six candidats qui viennent ensuite sont premiers probables, voici les deux plus petits, les quatre autres ont 99, 389, 419, 836 chiffres :
61213151619202526323, 361213151619202526323, ...Il n'y a aucun autre premier ou premier probable jusqu'à 103000 (c.-à-d. parmi les self-belges2 de 3000 chiffres ou moins).
Additif Mai 2011 : Hans Havermann a calculé les 97550 premiers termes de la suite A107070. Il a trouvé 13 nombres premiers parmi les premiers éléments de cette suite. Hans a poursuivi les calculs et obtenu encore 6 premiers probables, le plus grand a 27867 chiffres.