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Nombres vampires

Définition

Selon Clifford A. Pickover (Pickover, 1994) :

Les nombres vampires sont les entiers naturels produits n=ab de deux facteurs a et b tels que :
a et b ont autant de chiffres l'un que l'autre,
les chiffres de a et de b réunis sont exactement ceux de n,
n n'est pas obtenu en ajoutant des zéros à un plus petit nombre vampire.

a et b sont les deux crocs du nombre vampire n=ab.

Lorsqu'on n'impose pas aux crocs d'avoir le même nombre de chiffres, on a des pseudo-vampires.

Par opposition aux pseudo-vampires, les vampires sont des 'vrais' vampires.
Dans le cas des pseudo-vampires on peut toujours se limiter à deux facteurs sans zéros à droite, en les éliminant tout simplement.
En ajoutant des 0 au plus court des deux facteurs sans zéros à droite, on obtient alors les crocs d'un vrai vampire comme dans l'exemple ci-dessous :
         9 x 79110 = 711990     9 x 7911 = 71199      7911 x 9000 = 71199000

Résultats (en base dix)

vamp.tar.gz contient quelques utilitaires (scripts bash ou Awk) et le programme C qui utilise la bibliothèque gmp de grands entiers. Ce programme permet la recherche de nombres vampires écrits dans différentes bases (de 2 à 36) et d'un nombre pair quelconque de chiffres.

V2

Il n'y a aucun vampire de 2 chiffres.

V4

Les vampires de 4 chiffres sont au nombre de 7, ce sont
         15 x 93 = 1395, 21 x 60 = 1260, 21 x 87 = 1827, 27 x 81 = 2187
         30 x 51 = 1530, 35 x 41 = 1435, 80 x 86 = 6880

V6

On dénombre 148 vampires de 6 chiffres, l'un d'entre eux est 2 fois vampire :

         204 x 615 = 246 x 510 = 125460

V8

Il y a 3228 vampires de 8 chiffres, 13 d'entre eux le sont 2 fois :

         2886 x 9300 = 3900 x 6882 = 26839800,
         22569480, 12054060, 13002462, 12600324, 61360780, 26373600,
         12827650, 26198073, 11930170, 12417993, 23287176, 46847920

et un 14-ième vampire l'est même 3 fois :

         1620 x 8073 = 1863 x 7020 = 2070 x 6318 = 13078260

V10

Parmi les 16670 vampires de 10 chiffres, 24 le sont deux fois mais pas plus.
Exemples :
         10130 x 99701 = 1009971130
         21474 x 57636 = 1237675464
	 11009 x 99110 = 11990 x 91001 = 1091101990
	 14150 x 83027 = 14315 x 82070 = 1174832050

Vn>10

Vampires en base dix

Exemples de vampires de différentes longueurs en base dix
Nb. chif.
vampire
Exemples
(un exemple de chaque longueur)
12 183758 569204
104595788632
14 4044918 4076682
16489844402076
16 73824690 74058441
5467341448708290
18 636444908 637035557
405438036467593756
20 4178439263 4178503910
17459624798143018330
22 74795169012 74806591035
5595171619674389007420
24 646848714002 646850417336
418414360605448606738672
26 7896593927628 7896605241420
62356284998272608947951760
28 90765870245831 90765884614421
8238444505660604791917728851
30 800690438226776 800690541291530
641105260390749639582068007280
32 7890621146292999 7890621146302254
62261902074399269225108498119746
34 73611455030141441 73611455078461292
5418646315211430195471451403601772
36 878059243705180523 878059243706233814
770988035457038453803589221316804722
38 9427189041572426079 9427189041688233828
88871893226634978941092442178597200412
40 67835106415248801258 67835106415266313929
4601601662369317045751193883845558122682
42 523371065181668818442 523371065181794933279
273917271869460635860141823592538154731318
44 7258356221946085072286 7258356221946096141347
52683735044663526125127502997168782168409242
46 67250037190134522805691 67250037190134547294343
4522567502074478070334021619943993153172506013
48 405679065980694914575179 405679065980694941820132
164575504574969029004696579056819491149809703628
50 9938983827026148292267331 9938983827026148354765188
98783399513887341458063217618892922993086628473228

Autres bases de numération

Quelques résultats obtenus par le programme C qui peut trouver les vampires en toute base de 2 à 36.


Vampires en différentes bases

Exemples de vampires dans diverses bases de numération
Commentaires Bases Exemples
Système
Binaire
2 10110 x 11101 = 1001111110
10111 x 11001 = 1000111111
11001 x 11100 = 1010111100
11001 x 11110 = 1011101110
11010 x 11011 = 1010111110
Système
Ternaire
3 200000 200011 110002200000
200002 212120 120202202010
222011 222011 221022201121
Système
Quaternaire
4 113 x 302 = 101332
201 x 210 = 102210
201 x 300 = 120300
  5 100201 444400 100140424400
144221 400303 124404320013
  6 101021 553345 100353154125
111101 533423 104153113123
Octal 8 21 x 50 = 1250
21 x 66 = 1626
30 x 41 = 1430
Duodécimal 12 828 x B77 = 7B7828
850 x 969 = 685990
Hexadécimal 16 21 x 90 = 1290
21 x EA = 1E2A
30 x 81 = 1830
  20 1A x H5 = 15HA
21 x B0 = 12B0
21 x IC = 1I2C

Propriétés

a+b = a*b (mod base-1)

En base dix c'est l'application de la classique 'preuve par neuf'
D'une manière générale, comme q >1 est congru à 1 modulo q-1, et donc que c*q^n = c (mod q-1) on en déduit qu'un entier est congru à la somme de ses chiffres et donc que :

Si, en base q, n = a*b est un nombre vampire et si a, b sont ses crocs, alors, a+b = a*b (mod q-1).

Base q^2

Si n = a*b est un nombre vampire de k=2*r chiffres dans la base q^2 et si a et b ont k chiffres dans la base q, alors n est aussi un nombre vampire de 2*k chiffres en base q.

         1275 x 9741 = 12419775, 3267 x 9801 = 32019867 (base 10)

Les regroupements de 2 chiffres en 2 chiffres de l'écriture d'un nombre dans une base q donnent les chiffres du même nombre dans la base q^2.
         1275 x 9741 = 12419775  (12)(75) x (97)(41) = (12)(41)(97)(75)
Non seulement a+b=ab (mod q-1) mais aussi (mod q^2-1) et (mod q+1).
En fait il suffit de faire attention à ne pas avoir des 0 à gauche losqu'on passe de la base q^2 à la base q pour que le nombre soit vampire dans les deux bases, un contre-exemple est donné ci-dessous.

         0801 x 1350 = 1081350

Carrés

Quels sont les vampires de la forme n=a*a=a^2 ?
Programme : carre.c
En base dix on a par exemple :

         72576^2 = 5267275776
	 3279015^2 = 10751939370225
	 99748631^2 = 9949789386374161

Nombre de vampires carrés

Nombre de carrés n=a2 en fonction de la base de numération et le nombre de chiffres
Base \ Nb. chif. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
base 2 0 0 1 1 7 9 29 46 101 213
3 0 0 0 0 2 9 9 23 79 250
4 0 0 1 1 2 9 45 153 475 1756
5 0 0 0 0 0 9 34 203 749 3104
6 0 0 0 0 5 18 54 220 1018 4721
7 0 1 0 0 2 9 33 143 865 4471
8 0 0 3 2 11 12 33 165 777 4187
9 0 0 0 1 0 5 14 75 508 3067
10 0 0 0 0 1 4 14 82 418 2795

Problèmes apparentés

De près ou de très loin...

Doubles crocs (282972=800720209)

Quels sont les entiers n, non divisibles par la base, qui ont exactement les mêmes chiffres non nuls que leurs carrés n^2 ?
Programme : double.c
En base dix on a
         n            n^2
         1            1
         28297        800720209
         877501       770008005001
         22517749     507049020027001         
         197486397    39000877000041609
Peut-on en trouver d'autres ?

En base 4 on en a une infinité :
        133333333^2 = 33333333000000001
	(2*4^k - 1)^2 = 4^(k+1)(4^k -1)+1




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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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