Suite ou mot infini de Kolakoski
Index général des suites
Généralisations de la suite de Kolakoski.
Définition
Le mot infini de Kolakoski K = 121121221221121122121121221121121221221121 ...
est formé d'une succession de blocs de chiffres identiques entre-eux (mais différents des chiffres des deux blocs immédiatement précédent ou suivant) :
1, 2, 11, 2, 1, 22, 1, 22, 11, 2, 11, 22, 1, 2, 11, 2, 1, 22, 11, 2, 11, 2, 1, 22, 1, 22, 11, 2, 1, ...
les nombres d'éléments de ces blocs, à partir du second (surtout pas du premier !), sont :
1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ...
qui donnent les caractères (chiffres) successifs du mot K de Kolakoski :
121121221221121122121121221121121221221121 ...
Généralisation et liens
est formé d'une succession de blocs de chiffres identiques entre-eux (mais différents des chiffres des deux blocs immédiatement précédent ou suivant) :
1, 2, 11, 2, 1, 22, 1, 22, 11, 2, 11, 22, 1, 2, 11, 2, 1, 22, 11, 2, 11, 2, 1, 22, 1, 22, 11, 2, 1, ...
les nombres d'éléments de ces blocs, à partir du second (surtout pas du premier !), sont :
1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ...
qui donnent les caractères (chiffres) successifs du mot K de Kolakoski :
121121221221121122121121221121121221221121 ...
Généralisation et liens
Quelques problèmes ouverts
Existence d'une formule close donnant le n-ième terme ?
Quelles sous-chaînes ? Et combien de fois chaque ? Si l'on prend une sous-chaîne du mot est-ce qu'elle réapparaît ailleurs ?
Et les sous-chaînes inversées (retournées) ? Ou obtenues en échangeant le 1 et le 2 ?
Quelles sont les proportions des chiffres '1' ou '2' lorsque la longueur du mot tend vers l'infini, existe-t-il une limite ? Est-ce 1/2 ?
Vasek Chvatal a montré que ces proportions sont entre 0,499 et 0,501.
Quelles sous-chaînes ? Et combien de fois chaque ? Si l'on prend une sous-chaîne du mot est-ce qu'elle réapparaît ailleurs ?
Et les sous-chaînes inversées (retournées) ? Ou obtenues en échangeant le 1 et le 2 ?
Quelles sont les proportions des chiffres '1' ou '2' lorsque la longueur du mot tend vers l'infini, existe-t-il une limite ? Est-ce 1/2 ?
Vasek Chvatal a montré que ces proportions sont entre 0,499 et 0,501.
Recherches de sous-chaînes
Références, liens
Unsolved Problems and Rewards Integer Sequences and Arrays, Clark Kimberling U. Evansville
Dangerous Problems - Kolakoski sequence Ivars Peterson. Science News Online.
Kolakoski-(3,1) is a (deformed) model set. Baake, M., and B. Sing. Preprint.
Notes on the Kolakoski sequence Chvatal, V. 1993. DIMACS Technical Report.
Kolakoski Sequence Eric Weisstein's World of Mathematics.
A006928 et A042942 Sloane
Integer Sequences and Arrays. Kimberling, C. Unsolved Problems and Rewards
Kolakoski sequence PlanetMath
On Recurrence of the Kolakovski Sequence Ilya Shmulevich
0.122112122122112... is irrational Math Central
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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.