Suite ou mot infini de Kolakoski


Index général des suites     Généralisations de la suite de Kolakoski.

Définition

Le mot infini de Kolakoski K = 121121221221121122121121221121121221221121 ...

est formé d'une succession de blocs de chiffres identiques entre-eux (mais différents des chiffres des deux blocs immédiatement précédent ou suivant) :
1, 2, 11, 2, 1, 22, 1, 22, 11, 2, 11, 22, 1, 2, 11, 2, 1, 22, 11, 2, 11, 2, 1, 22, 1, 22, 11, 2, 1, ...

les nombres d'éléments de ces blocs, à partir du second (surtout pas du premier !), sont :
1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ...

qui donnent les caractères (chiffres) successifs du mot K de Kolakoski :
121121221221121122121121221121121221221121 ...

Généralisation et liens

Quelques problèmes ouverts

Existence d'une formule close donnant le n-ième terme ?

Quelles sous-chaînes ? Et combien de fois chaque ? Si l'on prend une sous-chaîne du mot est-ce qu'elle réapparaît ailleurs ?
Et les sous-chaînes inversées (retournées) ? Ou obtenues en échangeant le 1 et le 2 ?

Quelles sont les proportions des chiffres '1' ou '2' lorsque la longueur du mot tend vers l'infini, existe-t-il une limite ? Est-ce 1/2 ?
Vasek Chvatal a montré que ces proportions sont entre 0,499 et 0,501.

Recherches de sous-chaînes

Longueur minimale souhaitée :       

Sous-chaîne :    




Références, liens

Unsolved Problems and Rewards Integer Sequences and Arrays, Clark Kimberling U. Evansville
Dangerous Problems - Kolakoski sequence   Ivars Peterson. Science News Online.
Kolakoski-(3,1) is a (deformed) model set.   Baake, M., and B. Sing. Preprint.
Notes on the Kolakoski sequence   Chvatal, V. 1993. DIMACS Technical Report.
Kolakoski Sequence   Eric Weisstein's World of Mathematics.
A006928 et A042942   Sloane
Integer Sequences and Arrays.   Kimberling, C. Unsolved Problems and Rewards
Kolakoski sequence   PlanetMath
On Recurrence of the Kolakovski Sequence   Ilya Shmulevich
0.122112122122112... is irrational   Math Central


















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