Les calculs utiliseront généralement des matrices carrées de mêmes dimensions (recherche du polynôme caractéristique, du déterminant ...) et même parfois uniquement certaines de ces matrices (recherche de l'inverse). Mais on peut effectuer la somme et la différence de matrices rectangulaires de mêmes dimensions ou encore le produit d'une matrice (m,n) par une matrice (n,p).
L'application ci-dessous permet
De construire une matrice carrée particulière (nulle, unité, scalaire) ou encore au hasard (les coefficients sont entiers et choisis très proches de 0).
De construire une matrice carrée stochastique (matrice de transition) ou symétrique ou triangulaire supérieure ou orthogonale (Gram-Schmidt) ou encore circulante.
De calculer par exemple le produit d'une matrice orthogonale et de sa transposée, vérifiez que l'on a obtenu (en arrondissant un peu les valeurs) une matrice unité.
De transposer une matrice quelconque, de permuter ses lignes ou ses colonnes,
D'obtenir le déterminant d'une matrice carrée et, s'il n'est pas nul de calculer l'inverse de la matrice,
De calculer une puissance entière de la matrice lorsque c'est possible (matrice carrée et inversible lorsque l'exposant est négatif),
De multiplier une matrice par un réel,
D'additionner, de soustraire, de multiplier deux matrices lorsque les dimensions des matrices sont compatibles,
De calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée (utilise l'algorithme de Jean-Marie Souriau).
En évaluant P(X) on retrouve les valeurs propres réelles 'lambda' lorsqu'on réussit à obtenir P(lambda)=0.
(Essayer d'obtenir une racine par essais successifs et dichotomie. Essayez les trois intervalles délimités par -3, -2, 2, 10.
À l'aide de GP/PARI vous pouvez obtenir les racines en calculant polroots(X^3 - 6*X^2 - 21*X - 1), toutes les trois sont réelles).
Les valeurs propres (réelles ou complexes) peuvent être localisées à l'aide d'un théorème de Gerschgörin-Hadamard dans un disque de rayon r=min(L,C) où L (resp. C) sont les maximums des sommes des valeurs absolues des éléments de chacune des lignes (resp. des colonnes).
Temporaire, en attendant une implémentation des complexes : En choisissant un pas suffisamment fin et en balayant l'intervalle réel [-r, r] on obtient par la méthode de dichotomie les valeurs propres réelles lorsqu'elles sont simples ou d'ordre de multiplicité impair.
Les autres v.p. sont obtenues par détection des extremum, elles sont placées entre parenthèses comme (ceci). Toutes les valeurs obtenues sont des résultats approchés et incertains à vérifier soigneusement avant de conclure.
Lorsque la matrice est symétrique, toutes les valeurs propres sont réelles.
Essayer aussi une matrice triangulaire supérieure
De calculer la valeur de P(M) où M est la matrice affichée et P est donné par ses coefficients.
Comme cas particulier on peut prendre pour P le polynôme caractéristique et vérifier que P(M) est la matrice nulle (th. de Cayley-Hamilton).
L'historique permet de retrouver aisément toutes les matrices utilisées précédemment et de les intégrer dans de nouveaux calculs.
Calculs
Les résultats ci-dessus sont donnés sans garantie d'exactitude (en raison des très nombreux arrondis effectués et non maitrisés, des bugs de conception ou de programmation toujours possibles...). N'utilisez cette application qu'à vos risques et périls, en sachant ce que vous faites ! Prévenez-moi des erreurs relevées ou des améliorations souhaitables, j'en tiendrai le plus grand compte dans une prochaine version de cette page.
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Pages sur les matrices
Algèbre linéaire Bacamaths Gilles Costantini.
