Algorithme de Kaprekar

Description

Algorithme de Kaprekar

Le mathématicien indien D.R. Kaprekar s'est intéressé depuis son enfance aux nombres.
Il a inventé l'algorithme suivant :
1) prendre un nombre quelconque K de quatre chiffres, 2) écrire les chiffres de ce nombre dans l'ordre décroissant ou dans l'ordre croissant pour construire deux nombres n et m. 3) Calculer la différence K' = n-m,
1 bis) recommencer le procédé en prenant cette fois K' à la place de K...

par exemple K = 7284 conduit aux étapes suivantes. Étape 1 : 8742 - 2478 = 6264, étape 2 : 6642 - 2466 = 4176, étape 3 : 7641 - 1467 = 6174, étape 4 : 7641 - 1467 = 6174...
On s'aperçoit à ce moment que le nombre 6174 se succède indéfiniment à lui-même. Le point fixe 6174 est appelé constante de Kaprekar.


Vous pouvez essayer d'autres valeurs de K à l'aide de l'application ci-dessous et vous pourrez remarquer que l'algorithme de Kaprekar conduit très souvent au nombre 6174 (en partant d'un nombre K de quatre chiffres).

L'algorithme se généralise à tous les entiers positifs d'un nombre quelconque de chiffres.

Autres algorithmes

Trois algorithmes sont introduits ici pour être comparés à l'algorithme de Kaprekar, les suites obtenues mènent à des points fixes ou à des cycles (suites ultimement périodiques).

L'un des algorithmes possibles consiste à "retourner" le nombre K en réécrivant ses chiffres dans l'ordre inverse. Le plus grand de K et de son retourné donne n, l'autre étant m. On a donc bien K' = n-m positif.
L'algorithme dit "alterné", mélange d'une certaine façon les chiffres du nombre.
L'algorithme dit "Pair/Impair" opère comme l'algorithme de Kaprekar, à la différence près que les chiffres de rangs pairs sont permutés avec les suivants (s'il a un suivant).
Vous pouvez observer les suites obtenues à l'aide le l'application ci-dessous.

Application


Kaprekar :      Retourné :      Alterné :      Pair/Impair :



      de n = chiffres (limité à 2000).

Documents - références - compléments - liens utiles

Procédé ou Cycle de Kaprekar   Gérard Villemin.
Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905 - 1988) est un mathématicien indien célèbre pour ses recherches sur les nombres. On lui doit la notion de nombre de Kaprekar ainsi que l'algorithme de Kaprekar. Boudé par ses contemporains, ses travaux seraient passés inaperçus s'il n'avai(en)t pas été relayés par Martin Gardner spécialiste des énigmes mathématiques. (Article en français de Wikipedia).
Investigations into the Kaprekar Process   Robert W. Ellis & Jason R. Lewis, October 27, 2002.
Searching for Kaprekar's Constants: Algorithms and Results    Byron L.Walden, 7 April 2004
Kaprekar Series   http://kaprekar.sourceforge.net.
Dattatreya Ramachandra Kaprekar   Biography by: J J O'Connor and E F Robertson. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland
L'algorithme de Kaprekar   sur "mathenjeans.free.fr" par deux élèves de Terminale C (1991).
















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