Loi de composition interne associative sur un ensemble fini.

Loi interne sur E

On essaye de déterminer une loi de composition interne associative sur un ensemble E.

Associativité :
Pour tout choix de trois éléments a, b, c de E, (a b) c = a (b c).
(E, .) est alors un semi-groupe
(Un semi-groupe est un monoïde s'il a un élément neutre, voir en particulier : monoïde libre).

Commutativité :
(E, .) est commutative si pour tout choix de deux éléments a, b, de E, a b = b a.

On pourra essayer d'obtenir aussi la commutativité.

Élément neutre :
e est neutre si pour tout élément a de E, a e = a et e a = a. (à droite et à gauche respectivement).

Élément idempotent :
a est idempotent si    a a = a.

Recherche

Essayez l'un des exemples du prochain paragraphe ou lisez les explications plus détaillées données en bas de page. Cliquez ensuite [Cherche].

Les n éléments x de E sont écrits à la 1ère ligne, les n2 produits x y de deux x et y éléments de E, ou une * (comme joker), sont écrits sur les n lignes suivantes.


loi commutative
Nombre d'éléments :         



              
           

Exemples

1) Réunion d'ensembles     2) Quatre éléments    3) À reconnaître    4) Commutative
5) Commutative    6) Non commutative    7) Groupe abélien    8) Quaternions
9) Complexes 1 i -1 -i    10) Racines 1 j j2 de l'unité   
11) Octonions (C+) (loi ni associative, ni commutative)
12) Loi associative et commutative, (obtenue à partir de la précédente)   

Construction progressive de la table.

Mode d'emploi

Cliquez le bouton [Exemple] : sur une première ligne, écrivez les n éléments de E, séparés par une ou plusieurs espaces, (a b c d dans l'exemple, cet ordre est important).
En principe, cette ligne ne doit plus être modifiée.

Entrez successivement les n lignes correspondant aux n2 produits x y de deux éléments x et y de E.

Inscrivez
soit la valeur du produit x y
soit une étoile * (ce qui permet d'attendre, il est préférable de ne remplacer que l'une après l'autre, les * par des valeurs).

x y est inscrit à l'intersection de la ligne x et de la colonne y.

Cliquez ensuite sur [Cherche].

Indications complémentaires

Implicitement l'ordre des lignes est le même que celui des colonnes (par exemle a b c d dans les deux cas). Les indications de lignes ne sont pas données, contrairement à celles de colonnes. Appuyez sur la touche [Exemple], les produits connus sont bb = a, cc = b, cd = c, db = b.


Les valeurs qui peuvent être déduites par associativité (et éventuellement par commutativité), remplaceront les *.
Les incompatibilités seront affichées.

Certaines touches comme [<--] [-->] permettent de retrouver les étapes précédentes.

Sur le site

Page de liens sur les groupes
3 couleurs jeu basé sur l'étude d'un groupe, (transpositions, cycles).
Permutations

Documents, références, liens divers

Semigroup MathWorld Eric Weisstein.
Constructing the Octonions John Baez

Octonion IntroductionGeoffrey Dixon
quaternionic Julia sets along the border of the Mandelbrot set Jean-Francois Colonna. France Telecom R&D/DTL/DLI and CMAP/Ecole Polytechnique.















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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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