Mélange parfait (brassage, battage d'un jeu de cartes)
Initialement on a la suite 1, 2, 3, 4 ... des entiers naturels non nuls.
On peut imaginer que ces nombres représentent les cartes d'un jeu, (ayant un nombre infini de cartes),
numérotées à partir du sommet du paquet.
Les cartes du jeu sont progressivement mélangées par des battages successifs, selon un algorithme
décrit un peu plus loin.
Le premier battage intervertit les deux premières cartes, le second battage mélange les quatre
premières cartes, le troisième les six premières cartes, etc.
Algorithme de battage des cartes
Aux étapes n = 1, 2, 3 ... on mélange les n premiers
éléments de la suite avec les n suivants en les alternant :
le n + k-ième élément de l'ancienne suite
est suivi du k-ième, pour k variant de 1 à n.
Ensuite, les éléments à partir
de N = 2n+1 restent inchangés.
La carte X est toujours la carte qui se trouve à la X-ième place du paquet initial
Les positions de certaines cartes changent à chaque battage, d'où les notations :
La carte X de position
initiale X (ou x0=X) prend ensuite les positions x1 = t1(x0), x2 = t2(x1)
...
t2 désignant le 2-ième battage et x2 la place occupée juste après ce battage.
Conjecture
Tout naturel apparaît à la première place de l'une de ces suites.
(on a, dans l'ordre, 1, 2, 3, 1, 6, 5, 9, 1, 4, 2, 16 ... à la 1-ère place : Sloane A035485)
Application
Le programme permet d'observer les étapes de ce mélange en cliquant sur [suivant].
Pour obtenir les positions successives tn[k] d'un élément particulier n (carte) aux étapes k, entrer la valeur n de cet élément et
cliquer sur [trajectoire].
L'image de droite donne la trajectoire de la carte 80 jusqu'à son arrivée à la première place.
Programme C de recherche de trajectoire.
Le bouton [premier] indique à quelle étape l'élément n
apparaît pour la première fois en première position.
Lorsque cette valeur est très élevée (pour 54 c'est 252992198) il faut attendre un certain temps !
La liste de ces éléments records est 1 3 4 7 13 15 39 43 54 1227 1796 2674 3464 8206 17526 19704 23302 31965 32105 ...
Attente avant la 1ère place.
Réciproquement
Quelle est la position initiale de la carte qui se retrouve au sommet, à l'étape n ?
Éléments x0 qui seront à la 1ère place à l'étape n.
La carte 37 du jeu initial se retrouve au sommet à l'étape 25.
En entrant la valeur 25 ci-dessus et en
cliquant le bouton [position initiale] on obtient la position 37.
Essayer de même 349 ou 1085.
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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.
Le programme permet d'observer les étapes de ce mélange en cliquant sur [suivant].
