Un tour de cartes astucieux (II)
Autres tours peu intuitifs mais pourtant bien réels : le problème de probabilité des 3 portes et la manifestation macroscopique du spin 1/2.
Origine
Ce tour de cartes vieux de plus d'une cinquantaine d'années est attibué au mathématicien William Fitch Cheney Jr. de l'université de Hartford.
Il semble avoir été décrit d'abord en 1976 par W. Wallace Lee dans "Math Miracles" (publié par Mickey Hades International, Calgary).
De nombreux chercheurs en combinatoire l'utilisent dans leur enseignement ces dernières années.
Il semble avoir été décrit d'abord en 1976 par W. Wallace Lee dans "Math Miracles" (publié par Mickey Hades International, Calgary).
De nombreux chercheurs en combinatoire l'utilisent dans leur enseignement ces dernières années.
Description
Brièvement
Vous faites choisir cinq cartes par un ou plusieurs spectateurs, vous n'en montrez que quatre à votre partenaire qui devra deviner la cinquième carte manquante.
Remarque : la présentation choisie est une variante du tour de Fitch Cheney, la modification est mineure et simple à mettre en oeuvre, elle rend très difficile la compréhension du tour par des spectateurs non avertis, même après de nombreuses représentations.
Remarque : la présentation choisie est une variante du tour de Fitch Cheney, la modification est mineure et simple à mettre en oeuvre, elle rend très difficile la compréhension du tour par des spectateurs non avertis, même après de nombreuses représentations.
Déroulement du tour
Alors que votre partenaire est hors de la salle, vous présentez à l'assistance un jeu de 52 cartes à jouer et vous demandez à un spectateur de tirer 5 cartes du paquet.
Peu importe que les cartes soient choisies au hasard ou non. Vous pouvez aussi bien demander à cinq personnes différentes de tirer une carte chacune.
Vous alignez quatre cartes découvertes sur la table et annoncez que votre ami va deviner la cinquième carte que vous montrez bien à toute l'assistance et que vous retournez ensuite. À aucun moment vous n'énoncez les noms des cartes pour éviter que votre partenaire ne puisse vous entendre !
Ensuite vous faites revenir votre ami dans la salle, il regarde les quatre cartes et très rapidement donne le nom de la cinquième carte.
Une variante consiste à demander à un spectateur de communiquer d'une voix forte, les noms des cartes à votre partenaire qui se trouve hors de la salle, ceci pour convaincre les spectateurs que vous ne donnez pas d'autre renseignement à votre ami, ni par la parole, ni par gestes.
Peu importe que les cartes soient choisies au hasard ou non. Vous pouvez aussi bien demander à cinq personnes différentes de tirer une carte chacune.
Vous alignez quatre cartes découvertes sur la table et annoncez que votre ami va deviner la cinquième carte que vous montrez bien à toute l'assistance et que vous retournez ensuite. À aucun moment vous n'énoncez les noms des cartes pour éviter que votre partenaire ne puisse vous entendre !
Ensuite vous faites revenir votre ami dans la salle, il regarde les quatre cartes et très rapidement donne le nom de la cinquième carte.
Une variante consiste à demander à un spectateur de communiquer d'une voix forte, les noms des cartes à votre partenaire qui se trouve hors de la salle, ceci pour convaincre les spectateurs que vous ne donnez pas d'autre renseignement à votre ami, ni par la parole, ni par gestes.
Solution
Deviner la carte
Principe
- Comptez le nombre N de cartes rouges (carreau ou coeur) parmi les 4 cartes.
- Isolez mentalement la carte N, retenez sa hauteur H (2, 3, ... As) et sa couleur C (trèfle, carreau ...)
- Déterminez l'ordre 123, 132, 213 ... 321 des trois cartes restantes et la valeur r = 1, 2, ..., 6 correspondante
- La carte H+r (ordre circulaire ou calcul modulo treize : 2, 3, ..., As, 2, ... ) de couleur C est la solution
Exemple
Le spectateur sort les cartes : Valet de pique, dix de trèfle, Dame de carreau, trois de coeur et trois de pique.
Vous placez dans l'ordre et visibles : Dame de carreau, Valet de pique, trois de coeur, dix de trèfle et gardez caché le trois de pique, face contre la table. Votre partenaire devine le trois de pique.
Vous placez dans l'ordre et visibles : Dame de carreau, Valet de pique, trois de coeur, dix de trèfle et gardez caché le trois de pique, face contre la table. Votre partenaire devine le trois de pique.
Solution de l'exemple
- Parmi les quatre cartes : Dame de carreau, Valet de pique, trois de coeur, dix de trèfle, deux sont rouges (Trois de coeur et Dame de carreau), vous isolez donc mentalement la carte numéro deux, qui est le Valet de pique. (Dans la version originale, c'est la 1ère carte qui est sélectionnée, la modification apportée ici est destinée à empêcher les spectateurs de deviner la méthode utilisée dans le cas où vous seriez amené à réaliser plusieurs fois le tour. Vous pouvez aussi convenir avec votre partenaire d'une autre astuce de placement de la carte particulière).
- La carte que vous venez de sélectionner est un pique, vous savez à ce moment que la cinquième carte est aussi un pique.
- Considérez maintenant les trois cartes restantes, dans l'ordre, DK, 3C, 10T, c'est cet ordre (l'ordre n° 5 est celui de 3,1,2) qui va nous donner une valeur d'écart 5 comme on le verra en détail plus loin.
- Revenons au valet de pique VP et comptons la 5-ième carte après V (écart 5), dans l'ordre (circulaire) des hauteurs : D, R, A, 2, 3. La cinquième carte après le Valet est le trois. La cinquième carte est un "Trois".
- Conclusion, la carte cachée est le "Trois de pique".
Ordre des cartes
Détaillons la méthode qui nous a fait trouver l'écart 5 du "Valet" au "Trois".
On utilise des ordres stricts
On utilise des ordres stricts
- sur les hauteurs des cartes : 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < Valet < Dame < Roi < As
- sur les couleurs : Trèfle < Carreau < Coeur < Pique
- sur les 52 cartes : 2T < 2K ... 10T < 10K < 10C < 10P < VT < VK < Vc .... AC < AP en combinant les deux ordres précédents (hauteur d'abord, couleur ensuite).
Calcul de l'écart
En revenant à l'exemple précédent DK, 3C, 10T s'ordonneraient normalement 3C < 10T < DK. Les trois cartes sont placées dans l'ordre 312 : d'abord la 3ème DK puis la 1ère 3C et la 2ème 10T en dernier.
Les six ordres possibles pour trois cartes sont naturellement 123, 132, 213, 231, 312, 321 et nos trois cartes sont dans l'ordre n° 5 de la liste, d'où l'écart cherché.
Les six ordres possibles pour trois cartes sont naturellement 123, 132, 213, 231, 312, 321 et nos trois cartes sont dans l'ordre n° 5 de la liste, d'où l'écart cherché.
| Ordres | 123 | 132 | 213 | 231 | 312 | 321 | Écarts | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Entraînez vous à deviner la cinquième carte
La notation à utiliser peut être celle de l'exemple ou une notation abrégée.
Ainsi au lieu de 'Dix de carreau' vous pouvez écrire 10 K (avec une espace entre 10 et K).
De même, utilisez V C pour 'valet de coeur' ou encore As T pour 'As de trèfle'.
Ranger les cartes
Exemple
- Lorsque vous avez les cinq cartes, deux de ces cartes au moins ont la même couleur (trèfle, carreau, coeur ou pique).
Avec "Dix de trèfle, Trois de pique, Dame de carreau, Valet de pique, Trois de coeur", deux cartes sont des Piques.
Sélectionnez les deux cartes "Trois de pique" et "Valet de pique", l'une sera la carte à découvrir.
- Dans l'ordre circulaire de de 3 à V l'écart vaut 8 : (3), 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, V, alors qu'il n'est que de 5 en allant de V à 3 : (V), D, R, A, 2, 3.
On conserve l'écart 5, le plus petit, la carte visible est le "Valet de pique", la carte cachée sera le "Trois de pique". - L'ordre n° 5 est 312 (voir la table) et on placera les trois autres cartes dans l'ordre "Dame de carreau, Trois de coeur, Dix de trèfle"
- La dernière étape est le placement du Valet de pique qui sera mis en deuxième position car deux des quatre cartes VP, DK, 3C, 10T sont rouges. (Lorsqu'il n'y a pas de cartes rouges, la carte spéciale sera placée en quatrième position).
L'application ci-dessous vous aidera à choisir les cartes.
Application
Lorsque plus de deux cartes sont de même couleur, il y a d'autres solutions que celle trouvée par l'application.
Combinatoire
Nombre de jeux
Lorsque vous connaissez les cinq cartes, il peut y avoir plusieurs manières de choisir les quatre cartes visibles et la carte cachée.
Le tirage "Trois de trèfle, Dix de carreau, Deux de trèfle, Quatre de trèfle, Huit de carreau"
contient trois trèfles et deux carreaux, il y a 3 choix possibles de deux trèfles et aussi un
choix de deux carreaux, il y a donc quatre manières de choisir la carte cachée et donc de disposer
les quatre cartes visibles (en utilisant le codage proposé dans cette page et non un autre).
Il y a 2598960 sous-ensembles de 5 cartes (choix de 5 cartes indépendamment de l'ordre de ces 5 cartes).
Ces 5 cartes peuvent être réparties de différentes manières parmi les quatre couleurs trèfle, carreau, coeur, pique, on peut avoir 5 = 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 et dans chaque cas il y a binomial(13, m) façons de choisir les m cartes d'une couleur donnée. Parmi m cartes il y a binomial(m, 2) choix de deux cartes privilégiées.
On peut calculer 6115200 présentations différentes de cinq cartes dont quatre sont rangées et une est cachée.
En moyenne, il y a donc un peu plus de deux manières de présenter les cinq cartes choisies (une moyenne égale à 40/17 = 2,35294...)
Il y a 2598960 sous-ensembles de 5 cartes (choix de 5 cartes indépendamment de l'ordre de ces 5 cartes).
Ces 5 cartes peuvent être réparties de différentes manières parmi les quatre couleurs trèfle, carreau, coeur, pique, on peut avoir 5 = 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 et dans chaque cas il y a binomial(13, m) façons de choisir les m cartes d'une couleur donnée. Parmi m cartes il y a binomial(m, 2) choix de deux cartes privilégiées.
On peut calculer 6115200 présentations différentes de cinq cartes dont quatre sont rangées et une est cachée.
En moyenne, il y a donc un peu plus de deux manières de présenter les cinq cartes choisies (une moyenne égale à 40/17 = 2,35294...)
